Loading…

Teoria chaosu – zagadki



Niech $x$ będzie liczbą milionów motyli na łące. Rozważmy model, w którym w przyszłym sezonie liczba zależy tylko od jej obecnej wartości i jest dana wyrażeniem:

$$x \to 4 x (1-x)$$

Uwaga: Model ten ma sens tylko dla $x$ dodatnich oraz mniejszych od $1$. Innymi słowy na łące może być nie wieej niż jeden milion motyli.

Mamy więc deteministyczne prawo okreslające dowolnie daleką przyszłość. Jeśli chcemy na postawie stanu teraźniejszego $x_0$ obliczyć liczebność np. za dwa lata $x_2$, to musimy obliczyć dwukrotnie zastosować nasze prawo:

$$ x_1 = 4 x_0 (1-x_0) \\
x_2 = 4 x_1 (1-x_1)$$

gdzie $x_0$ to obecna liczebność $x_1$ po 1 sezonie a $x_2$ po dwóch sezonach.

Prawo to znane jest jako równanie logistyczne. Posiada ono własności chaosu deterministycznego. Poniższe dwa problemy pokazują zaskakujące własności chaotyczne tego równania:

Zagadka 1

Czułość na warunek początkowy

Przypuśmy, że w tym roku badacz policzył motyle i wyszło mu, że na łące było dokładnie sto tysięcy motyli. Na podstawie tej liczby rozpoczął symulację modelu i obliczył liczebność w kolejnych latach. Okazało się jednak, że mogł nie policzyć jednego motyla! Oblicz w ciągu ilu sezonów jegu wyniki będą dokładne. W tym celu wystartuj z dwóch wartości $x = 0.1$ oraz $x = 0.1 + \frac{1}{1000000}$ i sprawdź po ilu krokach błąd będzie większy niż 0.1?

Możesz skorzystać z systemu Sage i języka Python:

Zagadka 2

Własność mieszania

Na łące jest 100tys. osobników ($x=0.1$). Po ilu sezonach liczebność motyli będzie z dokładnością do jednej sztuki będzie równwa 200tys. osobników ($x=0.2$)?

Możesz skorzystać z systemu Sage i języka Python: